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考研数学线代向量组的线性相关性

万学海文

关注

1。个维列向量所组成的向量组:构成矩阵;个维行向量所组成的向量组:构成矩阵;

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;

1。①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解;(齐次线性方程组)

②、向量的线性表出 是否有解;(线性方程组)

③、向量组的相互线性表示是否有解;(矩阵方程)

2。矩阵与行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组和同解;(例14)

3。;(例15)

4。维向量线性相关的几何意义:

①、线性相关;

②、线性相关坐标成比例或共线(平行);

③、线性相关共面;

5。线性相关与无关的两套定理:

若线性相关,则必线性相关;

若线性无关,则必线性无关;

若维向量组的每个向量上添上个分量,构成维向量组:

若线性无关,则也线性无关;反之若线性相关,则也线性相关;

简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;

6。向量组(个数为)能由向量组(个数为)线性表示,且线性无关,则(二版定理7);

向量组能由向量组线性表示,则;(定理3)

向量组能由向量组线性表示

有解;

(定理2)

向量组能由向量组等价(定理2推论)

7。方阵可逆存在有限个初等矩阵,使;

①、矩阵行等价:(左乘,可逆)与同解

②、矩阵列等价:(右乘,可逆);

③、矩阵等价:(、可逆);

8。对于矩阵与:

①、若与行等价,则与的行秩相等;

②、若与行等价,则与同解,且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;

④、矩阵的行秩等于列秩;

9。若,则:

①、的列向量组能由的列向量组线性表示,为系数矩阵;

②、的行向量组能由的行向量组线性表示,为系数矩阵;(转置)

10。齐次方程组的解一定是的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;

①、 只有零解只有零解;

②、 有非零解一定存在非零解;

11。设向量组可由向量组线性表示为:(题19结论)()

其中为,且线性无关,则组线性无关;(与的列向量组具有相同线性相关性)

(必要性:;充分性:反证法)

注:当时,为方阵,可当作定理使用;

12。①、对矩阵,存在, 、的列向量线性无关;()

②、对矩阵,存在, 、的行向量线性无关;

13。线性相关

存在一组不全为0的数,使得成立;(定义)

有非零解,即有非零解;

,系数矩阵的秩小于未知数的个数;

14。设的矩阵的秩为,则元齐次线性方程组的解集的秩为:;

15。若为的一个解,为的一个基础解系,则线性无关;(题33结论)

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